Schwarz Berlin kimya çalışmasına başladı ama Kummer ve Weierstrass önce uzun değildi onu matematik değiştirmek etkilemiştir vardı. Onun öğretmenlerin ilk yönünde yaptığı araştırma sonunda alacağını Karl Pohlke olarak etkilemeye. Aracılığıyla ona Schwarz geometri ilgilenmeye başladı. Schwarz Weierstrass 'nin 1861 yılında integral hesabı ve notları Schwarz bu hala var dersler de aldı konferans katıldı. Geometri ilgisi yakında Weierstrass 'analizi fikirlerinden birlikte oldu. Olarak Bolling de yazıyor:

... fikirler geometrik değerlendirmeler gelen çevrildi [Schwarz tarafından] analiz diline.

He Berlin çalışma, Weierstrass tarafından denetim altında 1864 yılına kadar bu doktora verildi devam etti. Doktora tez Kummer tarafından incelenmiştir.

Berlin ziyareti sırasında, Schwarz az Doğum yüzeyler (en az bir), varyasyon hesabın karakteristik bir sorun alanı yüzeyler çalıştı. Plato konuda 1866 yılında ünlü bir anı yayınlanan ve aynı yıl Weierstrass ve analitik fonksiyonlar teorisi yüzeylerin minimal teorisi arasında bir köprü kurdu. Schwarz 1865 yılında o şimdi Schwarz minimal yüzey olarak bilinir keşfedilen önemli bir katkı yapmıştı. Bu minimal yüzey bir sınır düzenli tetrahedron dört kenarları oluşmaktadır.

Schwarz Berlin yılında 1.867 hangi tamamlamış hocasına eğitim yeterlilik için eğitim devam etti. O Üniversitesi Halle bir privatdozents olarak atandı bu yıl. 1869 yılında Zürih Eidgenössische Technische Hochschule matematik profesörü olarak daha sonra, 1875 yılında, Göttingen Üniversitesi matematik kürsüsüne randevu kabul atandı.

Belki şaşırtıcı sonra Schwarz Weierstrass 1892 yılında Berlin'de bir profesörlük kabul başarılı, matematik için Almanya'da en güzide üniversite lehine denge olan, Göttingen doğru kaydırmaya başladı kuşkusuz kez Berlin vardı. Bunun birkaç nedeni vardı. Öncelikle Schwarz hareketinin sonra matematiksel araştırma yaptığı çıkış kadar tutmak için başarısız oldu. Bieberbach de oldukça iyi zaman o Schwarz Berlin 1892 yılında emekli yazdı koydu. Bu durumda bu Schwarz randevunuzu için tam bir sürpriz olmamalıdır 1890 yılında, iki yıl önce onun Complete Works yayınlanan vardı. Boerner buna yazıyor:

... öğretim görevleri ve endişe [Schwarz's] birçok öğrenci o kadar zamanını onun çok az daha yayınlanan aldı. Bir katkı öğesi de ve aynı titizlik, bir özellik de onun matematiksel bildiri açıkça önemsiz ile önemli kullanımı için yaptığı eğilimi olabilir.

Biz Berlin tek nedeni matematik için önde gelen Alman üniversite olmaktan ikinci üniversite olmak için aşağı hareket Schwarz kaynaklandığını izlenimi vermemelidir. Diğer etkisi Göttingen Klein olan dinamik liderlik o Berlin pahasına nerede Frobenius ve Schwarz aynı ilham yaklaşım sağlayamayan iflah yapıldı. Belki de son işareti Göttingen Berlin bu overtaken vardı 1902 yılında zaman Frobenius ve Schwarz olan Fuchs ölümü üzerine boş olmuştu Berlin sandalyeye başarılı Hilbert seçti geldi. Hilbert, Göttingen kalmasına tercih teklifi geri çevirdi. Berlin sandalye sonra Schottky tarafından doldu ama Schwarz önünde gibi o da Berlin'e matematiksel araştırma için en iyi gün sonra arkasında olduğunu taşınmıştı.

Schwarz Berlin 1918 öğretim yılına kadar devam etti. Biz bir an, ama bazı çok ince matematiksel başarılarının tarif eder ilk biz rağmen evliliği matematiksel bir beri Kummer kızı evlendi ki, matematik dışında birçok ilgi vardı unutmayın. O yerel Gönüllü İtfaiye kaptanı oldu ve daha da şaşırtıcı olan, o yerel tren istasyonunda tren kapıları kapatarak istasyon şefi yardım dışında matematik.

Schwarz üzerinde çalıştığı önemli bir alan olduğunu konform dönüşümleri bu. 1870 yılında Riemann dönüşüm teoremi ile ilgili çalışma üretti. Rağmen Riemann teoremi bir kanıtıdır uçağın herhangi bir basit bağlantılı bölge conformally bir diske eşlenmiş olabilir vermişti, onun kanıtı Dirichlet problemi ile ilgili. Weierstrass o Dirichlet 'Bu zorlu değildi ayrıntıları görmek için çözüm var göstermişti. Schwarz's conformally daireye poligonal bölgeler haritası için bir yöntem verdi. Sonra, Riemann dönüşüm teoremi sıkı bir kanıtı vermek başardı çokgenler tarafından basit bağlantılı bölge keyfi bir yaklaşıldığıdır tarafından. Schwarz ayrıca yakında standart bir tekniği oldu Dirichlet sorunun çözümü için alternatif yöntem verdi. Schwarz çalışmalarının bu yönü detaylı olarak incelenir.

En önemli çalışma bir Festschrift Weierstrass ^'70. yaş günü için. Schwarz olup, belirli bir minimum yüzey gerçekten minimal bir alan verimlerinin soruyu yanıtladı. Bu kitabında bir fonksiyonu başarılı yaklaşımları kullanılarak inşa bu eser, gelen bir fikir, LED Emile Picard diferansiyel denklemlerin çözümü için kendi varlığını ispat için. Ayrıca, integraller şimdi 'Schwarz eşitsizliği', ayrıntılar için bkz olarak bilinen eşitsizliği içerir.

Aslında Schwarz genel sonucun özel bir durum şimdi olarak bilinen Cauchy-Schwarz eşitsizliği (veya Cauchy - Bunyakovsky-Schwarz eşitsizliği) ile gelmeliydin onun iş için çok şaşırtıcı değil oldukça belirli bakarak karakterize olduğunu dar sorunları ancak bu yana yaygın uygulamalar bulduk büyük genelliği yöntemleri kullanarak çözme. Onun gibi genel yöntemler buldu belki geometri için derin bir duygu dayalı çok onun büyük sezgi diyor.

Örneğin Cauchy-Schwarz eşitsizliği aritmetik, geometrik ve fonksiyon görünür-matematikçi işlerinde teorik formülasyonlar Bunyakovsky, Cauchy, Grassmann, von Neumann ve Weyl gibi. Hangi eşitsizlik genellikle bugün sunulmaktadır formu:

<X + benim, x + benim> 0

standart modern kanıtı ile ilk Weyl tarafından 1918 yılında verilmiş gibi görünüyor.

Gibi birçok kere bu yüzden yaptığı bir sorunun cevap olarak ne zaman Gauss s hipergeometrik serisi bir cebirsel fonksiyon Schwarz, oldu, çok daha genel sonuçlara yol açacak bir yöntem geliştirdi. Bu çalışmada yaptığı, şimdi olarak bilinen birim diske taraf olarak çevrelerin yay ile bir üçgen bir konform haritalama tanımlanan 'Schwarz fonksiyonu'. Bu işlev bir automorphic fonksiyonun erken bir örnek ve bu çalışma Schwarz hangi Klein ve Poincaré automorphic fonksiyonlar teorisi geliştirmek yol açan fikirler bakıyor olmasıdır.

Bize Schwarz karakteri üzerinde Bolling alıntı ile bitirmek olsun. Diye yazıyor:

Schwarz Weierstrass derinden etkilenmiştir. Onların yazışmaların Kimden Schwarz, genellikle bir doğruluk son ayrıntısına kadar, bazen neredeyse çekinerek aşağı gidiyor onun öğretmeni ele bulur. Schwarz's tavır, dramatik, kaba saf olarak tanımlanmıştır. Değil, güvensiz kendine güven izlenimi veren rağmen, o, aslında ve yanı sıra, iş konularında etkili değildir.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland