www.fmath.info

Presentació

Wikipedia

Russell contribucions de la Matemàtica

Més d'una llarga i variada carrera, Bertrand Russell va fer pionera contribucions als fonaments de la matemàtica i el desenvolupament de la lògica formal contemporània, així com a la filosofia analítica. Les seves contribucions relatives a les matemàtiques inclouen el descobriment de la paradoxa de Russell, la seva defensa de logicism (l'opinió que la matemàtica és, en cert sentit important, reductible a la lògica formal), la seva introducció de la teoria dels tipus, i el seu refinament i la popularització de la primera -Per al càlcul predicat. Juntament amb Kurt Gödel que sol ser acreditat amb ser un dels dos logicians més importants del segle XX.

Russell va descobrir la paradoxa que porta el seu nom al maig de 1901, mentre treballava en els seus Principis de Matemàtiques (1903). La paradoxa es planteja en relació amb el conjunt de tots dels conjunts que no són membres de si mateixos. Aquesta sèrie, si és que existeix, serà un membre de si mateix si i només si no es tracta d'un membre de si mateix. La importància de la paradoxa següent, ja que, en la lògica clàssica, totes les sentències són conseqüència d'una contradicció. Als ulls de molts matemàtics (incloent David Hilbert i Brouwer Luitzen), per tant, semblava que no podria ser la prova de confiança una vegada que es va descobrir que la lògica subjacent sembla tots de la matemàtica era contradictori. Una gran quantitat de treball en tota la primera part d'aquest segle en lògica, teoria de conjunts, i la filosofia i fonaments de les matemàtiques per tant, se li demani.

Russell de la paradoxa sorgeix com a resultat de la ingènua teoria de conjunts de l'anomenat lliure comprensió (o l'abstracció) axioma. Originalment presentat per Georg Cantor, l'axioma estableix que qualsevol expressió predicat, P (x), x, que conté com una variable lliure, determinarà un conjunt els membres del qual són exactament els objectes que compleixen P (x). L'axioma dóna forma a la intuïció que qualsevol condició coherent pot ser utilitzada per a determinar un conjunt (o classe). La majoria dels intents de resoldre la paradoxa de Russell, per tant, s'han concentrat en diverses formes de restringir o abandonar aquest axioma.

Russell de la pròpia resposta a la paradoxa vi amb la introducció de la seva teoria dels tipus. La seva idea bàsica era que la referència als conjunts problemàtics (com el conjunt de tots els conjunts que no són membres de si mateixos) podria ser evitar mitjançant l'organització de totes les sentències en una jerarquia (començant amb les penes sobre les persones en el nivell més baix, al voltant de conjunts d'oracions de les persones en el següent nivell més baix, les sentències sobre conjunts de conjunts d'individus en el proper nivell més baix, etc.) Utilitzant el principi de cercle viciós també adoptat per Henri Poincaré, juntament amb la seva anomenada "classe no" teoria de les classes, Russell va ser capaç d'explicar per què la comprensió irrestricto axioma falla: proposicional funcions, com ara la funció de "x és un conjunt "No s'ha d'aplicar a si mateixos ia la lliure aplicació suposaria un cercle viciós. En aquest punt de vista, es desprèn que és possible fer referència a una col · lecció d'objectes per als quals una determinada condició (o predicat) té només si són tots en el mateix nivell o del mateix "tipus".

Encara que es van introduir per primera vegada per Russell el 1903 en els principis, la seva teoria dels tipus madurs troba la seva expressió en el seu article 1908 com la lògica matemàtica basat en la teoria dels tipus i en la monumental tasca que coautor amb Alfred North Whitehead, Principia Mathematica (1910 , 1912, 1913). Així, en els seus detalls, la teoria admet dues versions, el "simple teoria" i la "teoria ramificada". Ambdós el versions de la teoria més tard va ser objecte d'atac. Per a alguns, que eren massa dèbils, ja que no per resoldre totes les paradoxes conegudes. Per a altres, que eren massa fortes, ja que van rebutjar molts definicions matemàtiques que, encara que coherents, viola el principi de cercle viciós. La resposta de Russell a la segona d'aquestes objeccions va ser introduir, dins de la teoria ramificada, l'axioma de reducibility. Tot i que l'axioma reduït amb èxit el cercle viciós principi de l'àmbit d'aplicació, molts van afirmar que era simplement massa ad hoc, que s'haurà de justificar filosòficament.

De la mateixa importància durant aquest mateix període va ser de Russell de la defensa logicism, la teoria que la matemàtica era important en algun sentit reductible a la lògica. En primer lloc defensar en els seus principis, i posteriorment amb més detall en els Principia Mathematica, de Russell logicism constava de dues tesis principals. La primera és que totes les veritats matemàtiques poden traduir en veritats lògiques o, en altres paraules, que el vocabulari de les matemàtiques constitueix un subconjunt que de la lògica. La segona és que totes les proves matemàtiques poden ser també la refosa de les proves lògiques o, en altres paraules, que els teoremes de matemàtiques constitueixen un subconjunt dels de la lògica.

Igual que Gottlob fregar, Russell la idea bàsica per a la defensa logicism és que els números poden ser identificats amb classes de classes i que el nombre teòric-estats pot explicar en termes de quantifiers i la identitat. Per tant, el número 1 seria identificat amb la classe d'unitat de totes les classes, el nombre 2 amb la classe de tots els membered de dues classes, i així successivament. Declaracions com ara "hi ha dos llibres" seria una refosa com "hi ha un llibre, x, i hi ha un llibre, i, i x no és idèntic a la i". D'això es desprèn que el nombre d'operacions teòric-podria ser explicat en termes de conjunt-teòrica, com les operacions d'intersecció, unió, i similars. En Principia Mathematica, Whitehead i Russell van poder proporcionar detallades derivacions de molts teoremes importants en teoria de conjunts, finit i transfinite aritmètica, i la teoria elemental mesura. Un quart volum de la geometria s'havia previst, però mai es va completar.

De la mateixa manera que Russell volia utilitzar la lògica per a aclarir qüestions en les bases de les matemàtiques, també desitjava utilitzar la lògica per aclarir qüestions de filosofia. Com a un dels fundadors de la "filosofia analítica", Russell és recordat pel seu treball utilitzant de primer ordre lògica per a mostrar com una àmplia gamma de frases que denoten podria ser refosa en termes de predicats i variables quantificades. Per tant, és també recordat per la seva èmfasi en la importància de la forma lògica per a la solució de molts problemes relacionats amb la filosòfica. Aquí, com en les matemàtiques, Russell es té l'esperança que mitjançant l'aplicació de la maquinària lògica i els coneixements que un pugui resoldre d'una altra manera insolubles dificultats.

Russell la vida i la influència pública

Russell va néixer el nét de Lord John Russell, qui havia servit dues vegades com Primer Ministre en virtut de la Reina Victoria. Després de la mort de la seva mare (el 1874) i del seu pare (el 1876), Russell i el seu germà va anar a viure amb els seus avis. (Encara que el pare de Russell havia atorgat la custòdia de Russell i el seu germà a dos ateus, els avis de Russell tenia poca dificultat en obtenir la seva voluntat anul · lada.) Després de la mort del seu avi (el 1878), Russell va ser plantejada per la seva àvia, la Dama Russell. Educat en la primera privada, i més tard al Trinity College, Cambridge, Russell va obtenir els graus de primera classe tant en matemàtiques i en ciències de la moral.

Encara que elegit per la Royal Society el 1908, la cursa de Russell al Trinity semblava arribar a la seva fi el 1916 quan va ser condemnat i multat per la guerra anti-activitats. Va ser acomiadat de l'Escola com una conseqüència de la condemna. (Els detalls de la destitució es va relatar en Bertrand Russell i Trinity (1942) per GH Hardy). Dos anys més tard, Russell va ser condemnat per segona vegada. Aquesta vegada va passar sis mesos a la presó. És al mateix temps a la presó que ell va escriure la seva ben rebut Introducció a la filosofia matemàtica (1919). No està de tornada a Trinitat fins al 1944. Casat quatre vegades i tristament cèlebre pels seus nombrosos assumptes, Russell també va córrer sense èxit per al Parlament, el 1907, 1922 i 1923. Juntament amb la seva segona esposa, va obrir i dirigir una escola experimental durant els caps dels anys 1920 i principis de la dècada de 1930. Ell es va convertir en el tercer Earl Russell a la mort del seu germà el 1931.

Si bé l'ensenyament en els Estats Units a finals de 1930, Russell es va oferir un nomenament docent en el City College de Nova York. El nomenament fou revocat després d'un gran nombre de protestes públiques i una decisió judicial, el 1940, que declarar que era moralment no apta per ensenyar al Col · legi. Nou anys més tard va ser guardonat amb l'Ordre del Mèrit. Va rebre el Premi Nobel de Literatura 1950.

Durant els anys 1950 i 1960, Russell es va convertir en una mica d'inspiració per a un gran nombre de joves idealistes com a resultat de la seva contínua lluita contra la guerra i anti-nuclear protestes. Juntament amb Albert Einstein, va donar a conèixer el Russell-Einstein Manifest en 1955, que advoca per la reducció de les armes nuclears. El 1957, va ser un excel · lent organitzador de la primera Conferència Pugwash, que reunir científics preocupats per la proliferació de les armes nuclears. Ell es va convertir en el president fundador de la Campanya per al Desarmament Nuclear el 1958 i va ser empresonat una vegada més, aquesta vegada en relació amb anti-nuclear protestes, el 1961. Després de l'apel · lació, els seus dos mesos de presó es va reduir a una setmana a l'hospital de la presó. Ell continua sent una figura pública prominent fins la seva mort nou anys després a la edat de 97.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland