Matematikanë

Time linjë Photos Para Pulla Sketch Kërkimi

Alfred Tarski

Datlindja:

Vendin e lindjes:

Data e vdekjes:

Vendi i vdekjes:

14 Jan 1902

Warsaw, Russian Empire (now Poland)

26 Oct 1983

Berkeley, California, USA

Prezantimi
ATTENTION - Automatic translation nga versioni anglisht

Alfred Tarski 's babai ishte Ignacy Teitelbaum, një tregtar hebre dhe biznesmen që tregtohen në dru. Një mënyrë të arsyeshme mund të kërkoj pse babai Tarski nuk ishte quajtur "Tarski" dhe ne do të shpjegojmë në një moment pse Alfred Teitelbaum ndryshoi emrin e tij për të Alfred Tarski. Le të vetëm shënim për tani se Alfred Tarski ka lindur në fakt me mbiemrin e Teitelbaum, dhe për rreth 22 vitet e para të jetës së tij ishte i njohur si Alfred Teitelbaum. Ignacy Teitelbaum ishte martuar Rosa Prussak dhe, edhe pse nuk Rosa pasur një karrierë të, dhe prandaj nuk kishte mundësi për të treguar intelektin e saj, ajo ishte me nënën e tij më tepër se babai i tij se Tarski trashëguar shkelqimin e tij. Alfred kishte një vëlla Waclaw Teitelbaum të cilit ai ishte afër sa ata ishin duke u rritur.

Alfred u rrit në një familje dhe jashtë që me vlerë të arsimit. Ai mori pjesë Mazowiecka Schola (Mazowiecka Nizina është pjesë e zonës ultësirë e Polonisë Varshavë, në të cilën ndodhet), e cila ishte Shkolla e Lartë për intelektualët. Shkolla i dha Alfred një arsim më të gjerë se ai i dha rast të kundërt do marrë. Ai studioi tema të tilla si rusisht, gjermanisht, frëngjisht, greqisht dhe latinisht, përveç temave standarde shkollë. Sigurisht ai ka studiuar matematikë në shkollën e mesme, dhe mësuesit e tij të njohur se kishte talentin të jashtëzakonshëm në këtë temë, por ai nuk ishte subjekt që ai synon që të specializojnë në në universitet, por përkundrazi ai bëri vendim për të studiuar biologjinë.

Kishte ndryshime të mëdha në Poloni gjatë viteve që Alfred Teitelbaum është në rritje dhe ne duhet të shohim shkurtimisht në sfond në mënyrë që të kuptojnë ngjarjet. Që nga ndarja e Polonisë në 1772, Rusia ka kontrolluar atë pjesë të vendit të quajtur Kongresi i Polonisë, i cili përfshinte Varshavë. Universitetit të Varshavës kanë qenë të mbyllura dhe vetëm një universitet Russian language operohet atje. Në shpërthimin e Luftës së Parë Botërore, Fuqitë Qendrore (Gjermania dhe Austro-Hungari) sulmoi Kongresit Poloni. Në gusht 1915 forcat ruse u tërhoqën nga Varshavë - në këtë kohë Alfred Teitelbaum ishte studiuar në shkollë të mesme dhe ne duhet të shohim shkëlqyer karrierën e tij shkollore kundër veprimit ushtarak dhe ndryshime dramatike politike që po ndodhin rreth tij. Gjermania dhe Austro-Hungaria mori kontroll më të madhe të vendit dhe një gjeneral gjerman guvernator u instalua në Varshavë.

Një nga lëvizjet e parë pas tërheqjes ruse u refounding e Universitetit të Varshavës dhe filluan të veprojnë si një universitet polonisht në nëntor 1915. Shpejt një shkollë të fortë të matematikës u rrit deri në Universitetit. Lukasiewicz u emërua në Universitetin e re të Varshavës, kur ajo u rihap në vitin 1915. Mazurkiewicz u bë profesor i matematikës në këtë kohë. Ishte një kohë emocionuese në Poloni dhe një Mbretëria e re e Polonisë ishte shpallur më 5 nëntor 1916. Alfred Teitelbaum (i cili ende nuk e kishte ndryshuar emrin e tij për të Tarski) kaloi një kohë të shkurtër në ushtri polonisht pas largimit nga shkolla dhe pastaj hyri në Universitetin e Varshavës në 1918, duke filluar një kurs me qëllim që ai do të çojë në një shkallë në biologji. Kjo ishte një kohë e eksitim i madh si universitet ishte bërë një institucion kryesor ndërkombëtar pothuajse brenda natës.

Lesniewski pranuar kryetar i filozofisë së matematikës në Varshavë në 1919 dhe Sierpinski u emërua në të njëjtën kohë. Këto takime kanë qenë të një rëndësie të madhe që nga Alfred mori një kurs mbi logjikën e dhënë nga Lesniewski i cili shpejt e pa gjeniale e tij dhe e bindi atë për të ndryshuar nga biologjia për matematikë. Kjo ishte një moment përcaktues për Alfred i cili tani ra nën ndikimin jo vetëm të Lesniewski por edhe Lukasiewicz, Sierpinski, Mazurkiewicz, dhe Kotarbinski filozof. Ai mori pjesë në kurse nga të gjitha këto akademikë dhe udhëheqës gjeniale e tij tregoi shpejt që përputhen me madhështi e mësuesit e tij. Në vitin 1920 ai kishte një magji të shkurtër në ushtri polonisht në mes të studimeve të tij.

Kjo ishte rreth 1.923 që Alfred Teitelbaum ndryshoi emrin e tij për të Alfred Tarski. Ka qenë një numër arsyesh për të ndryshuar emrin dhe për ndryshimin e tjera të mëdha të jetës së tij që ai vendosi të bëjë në të njëjtën kohë, pikërisht për të ndryshuar fenë e tij nga besimi hebraik që të bëhet një katolike romake. Ajo nuk ishte vetëm Alfred që kanë bërë këto dy lëvizje të mëdha, për Waclaw vëllai i tij mori emrin e Tarski dhe përqafuar katolicizmin në të njëjtën kohë. Ne kemi shpjeguar fillime të reja që Polonia e kishte përjetuar në disa vjet më parë këtë, dhe ka qenë ndjenja të forta nacionaliste në vend. Nuk ka dyshim se Tarski është ndikuar fuqimisht nga këto ndjenja dhe dëshironte të ishte një polak dhe jo një çifut. Të dy të ndryshojë emrin dhe ndryshimin e fesë bërë atë më shumë në polonisht. Nuk ishte edhe realizimi që pikëpamjet anti-semite në vend është bërë pothuajse e pamundur për një hebre për t'u emëruar në një post të universitetit dhe Tarski, pranë përfundimit të studimeve të doktoratës së tij, dëshironte sigurisht që duhet të ndiqni një karrierë akademike.

Letër Tarski parë ishte botuar në 1921 kur ai ishte vetëm 19 vjeç. Në këtë letër ai hetuar vendosur pyetje teori, dhe vendosur teori fakt do të ishte një interes të vazhdueshëm për hulumtim Tarski gjatë gjithë jetës së tij. Studimet e tij e doktoraturës ishin mbikëqyrur nga Lesniewski dhe ai paraqiti tezën e tij e doktoraturës për shqyrtim në vitin 1923. Në vitin 1924 u diplomua Tarski me një doktoraturë, dhe u bë personi më i ri ndonjëherë në shkallë të dhënë nga Universiteti i Varshavës. Rezultatet e para Tarski e mëdha u botuan në vitin 1924 kur ai filloi të ndërtojë në rezultatet e fituara nga teoria e vendosur Cantor, Zermelo dhe Dedekind. Ai botoi një letër të përbashkët me Banach në atë vit në atë që tani quhet Banach-paradoks Tarski. Kjo nuk është një paradoks në të gjitha, arsyeja e vetme se është dhënë ky emër është se ai është kundër-intuitive. Rezultat dëshmon se një sferë mund të shkurtohet në një numër i caktuar i copa dhe pastaj reassembled në një sferë të përmasave të mëdha, apo si alternativë mund të jetë reassembled në dy sferat e madhësi të barabartë me një origjinal.

Tarski mësonte logjikën në Institutin Pedagogjik polak në Varshavë, 1922-1925 pastaj në atë vit ai ishte emëruar Docent në matematikë dhe logjikën në Universitetin e Varshavës. Ai më vonë u bë Lukasiewicz 's asistent por këto pozicione universitet nuk ka dhënë atij para të mjaftueshme për të jetuar, kështu që ai kishte për të fituar jetuar e tij me një punë të dytë. Ai u bë profesor i matematikës në Lycée Zeromski në Varshavë në 1925 dhe deri 1939 ai mbajti këto dy postimet me kohë të plotë. Më 23 qershor 1929 u martua me Maria Tarski Witkowski i cili ishte një mësues në Lycée Zeromski së. Duke pasur parasysh patriotizmi polak Tarski të cilën kemi përmendur më lart, mund të jetë e rëndësishme të theksohet se Maria ishte një katolike romake dhe ajo ka punuar si korrier për të ushtrisë gjatë luftës Polonisë për pavarësi.

Kjo ishte një kohë kur reputacion ndërkombëtar Tarski vazhdoi të rritet. Ai vizitoi Universitetin e Vjenës në shkurt 1930, ku ai leksione të Menger 's Colloquium. Në Vjenë, ai u takua Gödel i cili kishte qenë kohët e fundit dhënë doktoratë e tij dhe i cili u bë një anëtar i fakultetit më vonë në atë vit. Në 1933 botoi Tarski koncept i së vërtetës në gjuhë të formalizuar e cila është letër e tij tashmë të famshëm në konceptin e së vërtetës:

... cila është ndër gazetat më të rëndësishme të shkruara ndonjëherë në logjikën matematikore. ... Jo vetëm që e bën këtë letër të sigurojë një artikulim matematikisht rigoroz e disa ideve që kishin qenë më parë në zhvillimin e logjikës matematikore, ajo gjithashtu paraqet themelet mbi të cilat më vonë mund të ndërtohet logjika.

Tarski iu dha një bursë për të lejuar atë të kthehet në Vjenë në janar 1935 dhe ai ka punuar me Menger 'Grupi kërkimore deri në qershor. Rrethi Vjenë e Positivists logjike që lulëzuan, veçanërisht në vitet 1920 në Vjenë, kishte çuar në zhvillimin e grupit të Unitetit të Shkencës dhe të këtij grupi u takua në Paris në 1935. Tarski prezantoi idetë e tij mbi të vërtetën në një leksion në këtë takim. Niiniluoto, në argumenton:

... për tezën se përkufizimi origjinal Alfred Tarski të së vërtetës, së bashku me hartimin e saj më vonë në teori model, është një shtjellim i korrespondencës teoria klasike e së vërtetës. Në mbrojtjen Tarski kundër disa prej kritikëve të tij, unë uroj që të tregoj se si kjo llogari të së vërtetës mund të formulohet, kuptohet, dhe zhvilluar më tej në një mënyrë të kënaqshme philosophically.

Tarski botuar Në konceptin e pasojë logjike në 1936. Në këtë ai pohoi se arritja e një argument do të pasojnë logjikisht nga lokalet e saj nëse dhe vetëm nëse çdo model i lokaleve të jetë një model i konkluzionit. Kjo punë për pasojë logjike ka pasur një ndikim të thellë dhe është diskutuar nga shumë autorë, shih për shembull,,,,,, dhe.

Në 1937 ai botoi një gazetë tjetër klasik, këtë herë në metodën deduktiv, i cili paraqet qartë pikëpamjet e tij mbi natyrën dhe qëllimin e metodës deduktiv, si edhe duke pasur parasysh rolin e logjikës në studimet shkencore.

Në 1939 Tarski aplikuar për kryesuesi i filozofisë në Lvov, por nuk arriti të emëruar. Është e vështirë të ishte e sigurtë se pse një kandidat mund të jenë preferuar për një tjetër në një konkurs për një karrige kështu që është pamundur të thuhet me siguri se anti-semitizmit luajtur një rol në vendim. Megjithatë, ajo sigurisht që është e drejtë të themi se nga 1939 Tarski kishte një reputacion të shquar ndërkombëtar, por u detyrua ende për të mbështetur veten e tij duke i mësuar të matematikës në një shkollë të mesme. Ajo është me siguri të arsyeshme për të besuar se një ndryshim emri dhe feja nuk do të lejonte hebrenjtë të shpëtojnë nga diskriminimi i cili ishte i përhapur në të gjithë Evropën në këtë kohë.

Në gusht 1939 Tarski shkoi në Universitetin e Harvardit në Shtetet e Bashkuara për të marrë pjesë në një takim të Unitetit të Shkencës. Në 12,40 më 31 gusht 1939 i dha Hitlerit me qëllim që trupat e tij për të sulmuar në Poloni 4,45 mëngjes. Tarski kishte qenë në Shtetet e Bashkuara për dy javë në kohë. Ishte jashtëzakonisht me fat për atë që ai nuk ishte në Poloni, kur ushtritë gjermane sulmuar, sepse nuk ka asnjë dyshim se megjithë ndryshimin e emrit dhe fesë, ai do ende janë cilësuar si një hebre deri në regjimit nazist ishin të shqetësuar.

Në këtë kohë Tarski kishte dy fëmijë, një djalë dhe një Jan Ina bija, gruaja dhe dy fëmijët e tij dhe kishte mbetur në Poloni, kur ai shkoi në Shtetet e Bashkuara në 1939. Tarski ishte i suksesshëm në marrjen leje për të qëndruar në Shtetet e Bashkuara, dhe ai pastaj u përpoq, me ndihmën e shumë miqve evropian, për të rregulluar për familjen e tij dhe të bashkohen për të shpëtuar atë në Shtetet e Bashkuara. Ai nuk arriti të arritur këtë, por për fat të mirë të tre mbijetoi luftës dhe ishin në gjendje të bashkohen Tarski në vitin 1946. Megjithatë, babai i tij, nëna, vëllai dhe motra-in-ligjit të gjithë vdiqën në duart e nazistëve gjatë luftës.

Sigurisht Tarski jetës ishte duke u ruajtur në Shtetet e Bashkuara, por ai ende kishte për të siguruar një punë. Postimet Përhershëm nuk ishin të lehtë për të marrë që nga akademikët shumë të papaguar kishte ikur nga Evropa në Shtetet e Bashkuara në vitet menjëherë para shpërthimit të luftës. Tarski ka mbajtur një numër i pozitave të përkohshëm kërkimit: Harvardit 1939-1941; City College of Nju Jork në vitin 1940 dhe Instituti për Advanced Study at Princeton në 1941-42, kur ai mbajti një Guggenheim Fellowship. Në Princeton Tarski Gödel u takuan përsëri, sepse ai kishte ikur edhe nga rreziku nazist. Gjatë kësaj periudhe, në vitin 1941, ai botoi një gur i rëndësishëm në letër të marrëdhënieve.

Pas këtyre viteve të punëve të përkohshme, Tarski marrë një post të përhershëm pas ai u bashkua me stafin në Universitetin e Kalifornisë në Berkeley në 1942. Në fillim ai u emërua në një post të një viti, por ai ishte dhënë shpejt mbajtje. Ai u gradua profesor atje në vitin 1945, duke u bërë profesor i matematikës në vitin 1949. Ai ka mbetur në Berkeley për pjesën tjetër të karrierës së tij, duke u bërë profesor emeritus në vitin 1968. Edhe pse zyrtarisht në pension në atë fazë, ai u kërkoi që të vazhdojë të mësojë deri në vitin 1973 dhe ai gjithashtu ka vazhduar mbikëqyrjen e nxënësve hulumtim dhe ndërmarrje kërkimore deri në kohën e vdekjes së tij. Ne na është thënë për studentët Tarski në Berkeley.

Seminare e tij në Berkeley shpejt u bë një fuqi-shtëpinë e logjikës. Nxënësit e tij, shumë prej tyre tani shquar Matematikanë, risjell energjisë awesome me të cilën ai do të marr me të mirë dhe mikloj punën e tyre më të mirë prej tyre, gjithmonë duke kërkuar standarde më të larta të qartësi dhe saktësi.

Tarski sigurisht nuk të çojë një jetë mjaft në Berkeley, por mori shumë mundësi për të vizituar vende të tjera. Ai ishte ligjërues Sherman përkujtimore në University College në Londër në vitin 1950, pastaj një lektor në Institutin Poincare Henri në Paris në vitin 1955. Ai ishte profesor kërkime në Institutin Miller e Themelore të Kërkimit të Shkencës në 1958-1960, pra në vitin 1966 u kthye në University College në Londër, kur ai ishte përsëri pedagog Sherman përkujtimor. Në vitin 1967 Flint ai ishte profesor i filozofisë në Universitetin e Kalifornisë në Los Anxhelos dhe në 1974-75 ai ishte në Amerikën e Jugut në Universitetin Katolik të Kilit.

Tarski njihet si një nga katër logicians më të madh të të gjitha kohërave, të tjera tri të Aristotelit, Frege, dhe Gödel. Nga këto Tarski ishte më shumë fëmijë si një logician dhe veprat e tij të grumbulluara, me përjashtim të librat e tij, shkon deri në 2500 faqe. Tarski bërë kontribute të rëndësishme në shumë fusha të matematikës: Teoria e caktuar, teoria masë, topologji, gjeometri, algjebër klasike dhe universale, logjika algjebrike, degëve të ndryshme të logjikës formale dhe metamathematics. Ai prodhuar aksiomat për 'pasojë logjike', ka punuar në sistemet deduktiv, algjebër e logjikës dhe teorisë së definability. Ai mund të konsiderohet si një logician matematike me interesa jashtëzakonisht të gjerë matematikore. Ne kemi shikuar shkurtimisht në disa të punës Tarski dhe ne do të shqyrtojmë pak më shumë nga puna e tij, por kjo është e pamundur në një biografi të këtij gjatësi të dhënë një pamje e duhur të gamë e kontributeve të tij.

Metamathematics, të paraqitura nga Hilbert në 1922 do të thotë "teori provë" si pjesë e programit të tij për të krijuar konsekuencë e aritmetike, u transformua nga Tarski kur ai futur metodat semantik që çojnë në zhvillimin e tij të teorisë me kombinim modelin e saj të semantik dhe marrëdhëniet sintaktik. Sinaceur shkruan:

Në [Tarski i] pikëpamje, metamathematics u bë e ngjashme me ndonjë disiplinë matematike. Jo vetëm konceptet e tij dhe rezultatet mund të jenë mathematized, por ata në të vërtetë mund të integrohen në matematikë. ... Tarski shkatërruar vijës kufitare ndërmjet metamathematics dhe matematikë. Ai e kundërshtoi të kufizojnë rolin e metamathematics në themelet e matematikës.

Gjuhët formale shkencore mund të jenë subjekt për të studiuar më të plotë nga metodë semantik që ai zhvilloi. Ai ka punuar në teorinë e modelit, probleme matematikore me vendim dhe algjebër universale.

Tarski paraqiti letër e tij metodë axiomatic: me referencë të posaçme për gjeometrinë dhe fizikën në Simpoziumin Ndërkombëtar të mbajtur në Universitetin e Kalifornisë në Berkeley nga 26 dhjetor 1957 te 4 janar 1958. Letër e tij, të botuar në Proceedings of Konferencës në vitin 1959, sistemi i tij i jep aksiomë për gjeometri. Ky sistem axiomatic jep një qasje më të reja për problemin e cila kishte qenë e trajtuara nga Hilbert në Grundlagen der Geometrie.

Në 1968 Tarski ka shkruajtur një tjetër letër të famshme logjikë Equational dhe teoritë equational e algebras në të cilin ai paraqiti një studim të metamathematics e logjikës equational si ai atëherë ka ekzistuar, si dhe duke i dhënë disa rezultate të reja dhe disa probleme të hapura. Në vijim të vitit vërtetën Tarski prej letre dhe prova shfaq të cilat:

... është një copë mirën e shpjegues shkruar në të gjithë logjikën matematikore.

Gazeta e konsideron Gödel 's Teorema paplotsueshmėrisė si dhe teoremen e Tarski e undefinability dhe të kërkoni në pasojat e tyre për metodën axiomatic në matematikë.

Tarski ka shkruajtur monografi nëntëmbëdhjetë në fusha të ndryshme të matematikës. Puna e tij përfshin Gjeometri (1935), Hyrje në logjikë dhe në Metodologjinë e shkencave deduktiv (1936), Një metodë vendim për algjebër elementare dhe gjeometri (1948), kardinali Algebras (1949), teoritë Undecidable (1953), Logic, semantikë, metamathematics (1956), dhe algebras rendor (1956).

Hyrje në logjikë dhe në Metodologjinë e shkencave deduktiv është një parathënie e shkruar në nivelin e një kurs universitare në logjikë dhe axiomatics. Në një metodë vendim për algjebër elementare dhe gjeometri Tarski tregoi se parë që teoria e numrave reale nën mbledhjes dhe shumëzimit është decidable që është në kontrast, në një mënyrë, e cila është me të vërtetë e habitshme që të jo-ekspertë, për rezultatet e Gödel dhe Kisha i cili tregoi se të parë që teoria e numrave natyrore nën mbledhjes dhe shumëzimit është undecidable. kardinali Algebras paraqet një studim të kënaqur algebras pronave të caktuara që kapjen aritmetike të numrave kardinal. Në teori Undecidable Tarski tregoi se teoria grup, lattices, gjeometria projektive abstrakte, algebras mbylljes dhe të tjerët janë të sistemeve matematikore undecidable. Ai e kishte bërë tashmë të qartë se si matematikanet duhet të jetë i kënaqur se nuk ka zgjidhje për problemin e përgjithshme vendim. Në një leksion dhënë në Harvard gjatë 1939-40 Tarski tha:

... zgjidhjen e problemit vendimin në formën e saj më të përgjithshëm është negativ. ... [Sigurisht] Matematikanë shumë përjetuar një ndjenjë të thellë e ndihmave kur ata dëgjuar për këtë rezultat. Ndoshta ndonjëherë në netët pa gjumë e tyre ata mendonin me tmerre e momentin kur disa metamathematician keq do të gjenin një zgjidhje pozitive, dhe hartimin e një makinë që do të na mundësojë për të zgjidhur ndonjë problem matematike në një mënyrë thjesht mekanike .... Rreziku është tani mbi ... [dhe] Matematikanë ... mund të fle qetë.

rendor algebras Tarski përcakton një algjebër e cila kap pronat e teorisë shtesë e llojeve rendit. Ajo ndryshon më me forcë nga algebras që ai paraqiti në algebras kardinali duke pasur jo-Përveç commutative.

Dokumentet e mbledhura e Tarski ishin prodhuar në katër vëllime redaktuar nga Steven R Givant dhe Ralph N McKenzie. John Corcoran, shqyrtoi këto vëllime, shkruan:

Komuniteti matematik i detyrohet një borxh mirënjohjeje për të Givant dhe McKenzie për përpjekjet e tyre në prodhimin e këtij koleksion të paçmuar e punimeve Alfred Tarski së. Është vetëm kur shohim dokumente Tarski të mbledhur në një vend që ne mund të fillojmë të vlerësojmë fushëveprimin dhe Menēuria e ndikimin e tij në mendimin modern matematikore dhe, në veçanti, në logjikën matematikore moderne. Logjika matematike si e njohim ne sot, është pothuajse e pakonceptueshme pa kontributet e Tarski së.

GH Mur shkruan në karakter Tarski përshkruar në:

Tarski ishte extroverted, i zgjuar, donte të fortë, energjik, dhe gojashpër. Ai preferoi studimin e tij të jetë bashkëpunues - ndonjëherë duke punuar tërë natën me një koleg - dhe ishte shumë i stërholluar për prioritet.

AB Feferman gjithashtu përshkruan aspektet e karakterit të tij të shkruar në:

Një udhëheqës karizmatik dhe mësues, të njohur e tij shkëlqyeshëm saktë ende stil suspenseful shpjegues, Tarski kishte intimidatingly standarde të larta për studentët, por në të njëjtën kohë ai mund të jetë shumë inkurajuese, dhe sidomos të grave - në kontrast me trendin e përgjithshëm. Disa studentë u frikësuar larg, por një rreth nga dishepujt e mbetur, shumë prej të cilëve u bë bota-udhëheqësit të njohur në këtë fushë.

Tarski u nderua duke u zgjedhur për të Akademisë Kombëtare të Shkencave, Mbretërisë së Holandës Akademia e Shkencave dhe Letra, dhe Akademia britanike. Ai u bë redaktor i nderit i Algjebra Universalis dhe shërbeu si Kryetar i Shoqatës për simbolike Logic 1944-1946 dhe Bashkimi Ndërkombëtar për Historia dhe Filozofia e Shkencës në 1956-57. Ai mori diploma nderi nga Universiteti Katolik i Kilit (1975) dhe Universiteti i Marsejë (1977). Në vitin 1981 Berkeley i dha atij Citat Berkeley.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland