Matematikanë

Time linjë Photos Para Pulla Sketch Kërkimi

Claudius Ptolemy

Datlindja:

Vendin e lindjes:

Data e vdekjes:

Vendi i vdekjes:

about 85

Egypt

about 165

Alexandria, Egypt

Prezantimi Wikipedia
ATTENTION - Automatic translation nga versioni anglisht

Një nga astronomët më me ndikim grek dhe Gjeografet të kohës së tij, Ptolemeu propounded teori gjeocentrik në një formë që mbizotëronte për 1400 vjet. Megjithatë, të gjitha Matematikanë antik grek, ajo është e drejtë të thuhet se puna e tij ka krijuar diskutime dhe argument më shumë se çdo tjetër. Ne do të diskutojnë argumentet më poshtë për të, në varësi të cilat janë të sakta, ata portretizimin Ptolemeu në dritat e shumë të ndryshme. Argumentet e disa historianë tregojnë se Ptolemeut ishte një matematikan i rangut shumë të lartë, argumentet e të tjerëve tregon se ai ishte jo më shumë se një expositor shkëlqyer, por shumë më keq, madje disa thonë se ai kishte kryer një krim kundër shkencëtarët nga kolegët e tij tradhëti etikën dhe integritetin e profesionit të tij.

Ne e dimë shumë pak të jetës Ptolemeut. Ai e bëri vëzhgime astronomike nga Aleksandria në Egjipt gjatë viteve AD 127-41. Në fakt vëzhgimi i parë që ne mund të ishte pikërisht data bërë nga Ptolemeu më 26 mars 127, ndërsa i fundit është bërë më 2 shkurt 141. Kjo ishte pohuar nga Theodore Meliteniotes në rreth 1.360 që Ptolemeu ishte lindur në Hermiou (e cila është në Upper Egjipt në vend se të ulta Aleksandrisë Egjipt ku ndodhet), por që kjo kërkesë të parë duket se më shumë se njëmijë vjet pas Ptolemeut jetuar, ajo duhet të trajtohet si relativisht të ngjarë të jetë e vërtetë. Në fakt nuk ka prova që Ptolemeu ishte ndonjëherë diku tjetër se Aleksandrisë.

Emri i tij, Klaud Ptolemeu, është sigurisht një përzierje e egjiptian greke 'Ptolemeut dhe romak "Klaudi". Kjo do të tregonte se ai ishte pasardhës i një familje greke që jetojnë në Egjipt dhe se ai ishte një qytetar i Romës, e cila do të jetë si rezultat i një perandor romak që jep shpërblim "për një nga etërit e Ptolemeut.

Ne e dimë se vëzhgimet përdorur Ptolemeu bërë nga 'Theon matematikan', dhe kjo ishte pothuajse me siguri Theon e Smyrna i cili pothuajse me siguri ishte mësuesi i tij. Sigurisht kjo do të kishte kuptim që të dyja Theon ishte një vëzhgues dhe një matematikan i cili kishte shkruar në tema astronomike të tilla si conjunctions, eklipset, occultations dhe transit. Shumica e punëve në fillim Ptolemeut janë dedikuar për të Syrus që mund të ketë qenë edhe një nga mësuesit e tij në Aleksandri, por asgjë nuk është e njohur e Syrus.

Në qoftë se këto fakte për mësuesit Ptolemeut janë të saktë në Theon atëherë me siguri ai nuk kishte një dijetar i madh, jo për Theon duket se e kanë kuptuar në thellësi ndonjë punë astronomike ai përshkruan. Nga ana tjetër Aleksandrisë pati një traditë për bursë që do të thotë se edhe në qoftë se Ptolemeu nuk kanë qasje në mësuesit më të mirë, ai do të ketë qasje në bibliotekat ku ai do të kishte gjetur materiale me vlerë referimi në të cilën ai e bëri mirë përdorimi.

Vepra kryesore Ptolemeut kanë mbijetuar dhe ne do të diskutojnë ata në këtë artikull. Më e rëndësishme, megjithatë, është Almagest e cila është një traktat në trembëdhjetë libra. Ne duhet të themi menjëherë se, edhe pse puna është tani pothuajse gjithmonë i njohur si Almagest që nuk ishte emri i saj origjinal. Titulli origjinal i tij grek përkthehet si The Programe matematike, por ky titull u zëvendësua shpejt nga një tjetër titull grek që do të thotë Programe Greatest. Kjo ishte përkthyer në arabisht si "el-majisti" dhe nga ky titulli Almagest ishte dhënë për punën kur ai ishte përkthyer nga arabishtja në latinisht.

Almagest është e hershme të Ptolemeut të punimeve dhe jep në detaje teorinë matematikore të mocioneve të Sun, Moon, dhe planetet. Ptolemeu bëri kontributin e tij më origjinale duke paraqitur detajet për mocionet e secilit prej planeteve. Almagest nuk ishte zëvendësohet deri një shekull pas Kopernikus paraqiti teorinë e tij heliocentrikrevolutionibus De e 1543. Grasshoff shkruan në:

"Ptolemeut Almagest" ndan me Euklidi 's "Elementet" lavdinë e të qënit tekst shkencor gjatë në përdorim. Nga ngjizja e saj në shekullin e dytë deri në fund të Rilindjes, kjo punë vendosur astronomisë si shkencë. Gjatë kësaj kohe "Almagest" ishte jo vetëm një punë në astronomi, subjekt ishte përcaktuar si ajo që përshkruhet në "Almagest".

Ptolemeu e përshkruan veten e tij shumë qartë se çfarë ai është duke u përpjekur të bëjë me shkrim punë (shih për shembull):

Ne do të përpiqemi që të shënoj çdo gjë të cilat ne mendojmë se kemi zbuluar deri në kohën e tashme, ne do të bëjmë këtë si saktësi të jetë e mundur dhe në një mënyrë që mund të pasohet nga ata që e kanë bërë tashmë një farë përparimi në këtë fushë. Për hir të kompletuar në trajtimin tonë ne duhet të përcaktojë çdo gjë të dobishme për teorinë e qiejve në mënyrë të duhur, por për të shmangur gjatësi të padrejtë vetëm ne do të rrëfej se çfarë është vendosur në mënyrë adekuate nga të hershëm. Megjithatë, këto tema të cilat nuk janë trajtuar me nga paraardhësit tanë në të gjitha, apo jo si të dobishme si ata mund të kenë qenë, do të diskutohet gjerësisht për të mirë e aftësisë sonë.

Ptolemeu i parë i të gjitha justifikon përshkrim i tij i universit bazuar mbi tokë sistemin e përqendruar të përshkruara nga Aristoteli. Kjo është një pamje e botës bazuar në një tokë të caktuar rreth të cilave në sferën e yjeve fikse me rotacion çdo ditë, ky mbante me sferat e diellit, hënës dhe planeteve. Ptolemeu përdorur modele gjeometrike të parashikojnë pozicionet e diellit, hënës dhe yjeve, duke përdorur kombinimet e levizjes rrethore të njohur si epicycles. Duke vendosur këtë model, Ptolemeu pastaj vazhdon për të përshkruar matematika të cilën ai ka nevojë në pjesën tjetër të punës. Në veçanti ai paraqet metodat trigonometrical bazuar në funksion CRD akord (e cila është e lidhur me funksionin sinus nga një mëkat = (CRD 2 a) / 120).

Ptolemeu shpikur prova të reja gjeometrike dhe teorema. Ai mori, duke përdorur chords e një rreth dhe një 360-Gon gdhendur, përafrimi

π = 3 17 / 120 = 3,14166

dhe, duke përdorur √ 3 tel = 60,

√ 3 = 1,73205.

Ai përdoret formula për funksion CRD të cilat janë analoge me formulën tonë për mëkatin (a + b) sin (a - b) dhe mëkat një / 2 për të krijuar një tabelë të funksionit CRD në intervale 1 / 2 një shkallë.

Ky zë dy të parët e 13 librat e Almagest dhe pastaj, duke cituar përsëri nga futja, ne japim përshkrimin e Ptolemeut të vet se si ai me qëllim për të zhvilluar pjesën tjetër të astronomisë matematik në punën (shih për shembull):

[Pas futjen e koncepteve matematikore] ne duhet të kalojnë nëpër mocionet e diellit dhe të hënës, dhe fenomenet shoqëruese këto mocionet, sepse do të ishte e pamundur që të shqyrtojmë teorinë e yjeve plotësisht pa e parë që një zotërim të këtyre çështjeve . Detyra jonë final në këtë mënyrë e qasjes është teoria e yjeve. Edhe këtu do të ishte e përshtatshme që të merren të parë me sferën e të ashtu-quajtur "yjet fikse, dhe ndiqni se duke trajtuar planetet pesë '", pasi ato janë quajtur.

Në shqyrtimin teoria e diellit, Ptolemeu krahason vëzhgimet e tij të equinoxes me ato të Hipparchus dhe vëzhgimet e parë Meton në 432 pes. Ai konfirmoi gjatësinë e vitit tropikal si 1 / 300 e një ditë më pak se 365 1 / 4 ditë, vlera e saktë të marra nga Hipparchus. Që, si Ptolemeu e dinte, saktësinë e pjesës tjetër të të dhënave të tij varej shumë për këtë vlerë, fakti se vlera e vërtetë është 1 / 128 e një ditë më pak se 365 1 / 4 ditë i ka prodhuar gabime në pjesën tjetër të punës . Ne do të diskutojnë më në detaje më poshtë akuzat që janë bërë kundër Ptolemeu, por kjo ilustron qartë arsyet për këto akuza që Ptolemeu duhet të kishte një gabim 28 orë në vëzhgim të tij të ekuinoks për të prodhuar këtë gabim, dhe duke pasur parasysh edhe saktësinë që mund të pritet me instrumentet dhe metodat e lashtë, ajo është në thelb e pabesueshme që ai mund të kishte bërë një gabim të kësaj shkalle. Një diskutim i mirë i këtij gabimi është e çuditshme të përfshira në nenin shkëlqyer.

Bazuar në vëzhgimet e tij të solstices dhe equinoxes, Ptolemeu gjeti gjatesite e stinëve dhe duke u bazuar në këto, ai ka propozuar një model të thjeshtë për diellin që ishte një lëvizje rrethore të njëtrajtshme shpejtësisë këndore, por toka nuk ishte në qendër të rreth, por në një distancë quajtur sjellje e çuditshme nga kjo qendër. Kjo teori e diellit përbën subjektin e librit 3 të Almagest.

Në Librat 4 dhe 5 Ptolemeut jep teorinë e tij të hënën. Këtu ai vijon Hipparchus i cili kishte studiuar tri periudha të ndryshme që mund të shoqërohet me një lëvizje e hënë. Nuk është koha e marra për hënë për t'u kthyer në të njëjtën gjatësi, kohë për të marrë të kthehen në të njëjtën shpejtësia (anomali) dhe kohën e marra për të të kthyer në të njëjtën gjerësi. Ptolemeu gjithashtu diskuton, si Hipparchus kishte bërë, muajin sinodik, se është koha ndërmjet kundërshtime të njëpasnjëshme e diellin dhe hënën. Në librin 4 Ptolemeut jep Hipparchus 's model epicikël për mocionin e hënë, por ai vë në dukje, si në Hipparchus fakt kishte bërë vetë, se ka mospërputhje të vogla në mes modelit dhe parametrat e vërejtur. Edhe pse duke vënë në dukje mospërputhjet, Hipparchus nuk duket se ka punuar një model më të mirë, por Ptolemeu e bën këtë në Librin e 5 ku ai jep modelin e përmirëson dukshëm në një të propozuar nga Hipparchus. Një diskutim interesant e teorisë së Ptolemeut e hëna është dhënë në.

Duke dhënë një teori për lëvizjen e diellit dhe të hënës, Ptolemeu ishte në një pozitë për të aplikuar këto për të marrë një teori e të cilat ai nuk eklipset në Librin 6. Tjetër dy libra merren me yjet fikse dhe në Librin e 7 Ptolemeut përdor vëzhgimet e tij së bashku me ato të Hipparchus për të justifikuar besimin e tij se yjet fikse ruajtur gjithmonë të njëjtën qëndrimet në lidhje me njëri-tjetrin. Ai shkroi (shih për shembull):

Nëse dikush do të përputhen me alignments sipër kundër diagramet formimin e yje në botë qiellore Hipparchus s ', ai do të gjeni se pozicionet e yjeve përkatës në botë që rezultojnë nga vëzhgimet e bëra në kohën e Hipparchus, sipas asaj që ai e regjistruar , janë shumë gati të njëjtën si tani.

Në këto dy Ptolemeut libër gjithashtu diskuton precedent, zbulimi i të cilit ai i jep Hipparchus, por figura e tij është disi në një humbje të kryesisht për shkak të gabim në gjatësinë e vitit tropikal që ai përdori. Pjesa më e madhe të Librit 7 dhe 8 janë marrë me katalogun e Ptolemeut ylli që përmban mbi një mijë yje.

Finale pesë librat e Almagest diskutuar teorinë planetare. Kjo duhet të jetë arritja më e madhe Ptolemeu në kushtet e një kontribut origjinal, që nuk duket të ketë qenë ndonjë model teorik i kënaqshëm për të shpjeguar mocionet mjaft e komplikuar e pesë planetet para Almagest. Ptolemeut kombinuar epicikël dhe metodat e çuditshëm për të dhënë modelin e tij për mocionet e planeteve. Rruga e një planeti pra P përbëhej nga lëvizje rrethore për një epicikël, C qendër të epicikël lëvizur rreth qendrës së raundit të cilit ishte kompensuar nga toka. Risi të vërtetë i zgjuar Ptolemeut këtu ishte për të mos e bëni mocionin e uniforme C rreth qendrës së rrethit rreth të cilave ajo lëviz, por rreth një pikë të quajtur equant e cila është e vendosur symmetrically në anën e kundërt të qendrës nga toka.

Teoria planetare që Ptolemeu zhvilluar këtu është një kryevepër. Ai krijoi një model të sofistikuara matematikore të aftë të dhënave vëzhgimor që para se të koha e Ptolemeut qenë të pakta, dhe modeli i prodhuar, megjithëse i komplikuar, përfaqëson mocionet e planeteve mjaft mirë.

Shumat deri Toomer Almagest si vijon:

Si një vepër didaktike "Almagest" është një kryevepër e qartësisë dhe metodë, superior ndaj çdo teksti lashtë shkencore dhe me disa nga shokët e çdo periudhë. Por është shumë më tepër se kaq. Larg të qenit një systemisation thjeshtë "e parë astronomi grek, ashtu siç është përshkruar ndonjëherë, ai është në shumë drejtime një punë origjinale.

Ne do të kthehen për të diskutuar mbi disa nga akuzat e bëra kundër Ptolemeu pas komentuar shkurtimisht në veprat e tij të tjera. Ai botoi tryezave të cilat janë të shpërndara në të gjithë Almagest veçmas nën titullin Tabela Handy. Këto nuk u hoqën vetëm nga Almagest por megjithatë bëri Ptolemeut përmirësime të shumta në prezantimin e tyre, lehtësinë e përdorimit dhe ai bërë edhe përmirësime në parametrat bazë për të dhënë më të madh saktësi. Ne dimë vetëm të dhënat e Tabelës Handy përmes koment nga Theon i Aleksandrisë, por në autori tregon se kujdesi është e nevojshme që Theon nuk ishte plotësisht në dijeni të procedurave të Ptolemeut.

Ptolemeu gjithashtu bëri atë që shumë shkrimtarë e vepra të thellë shkencore kanë bërë, dhe ende bëjnë, me shkrim një llogari popullor e rezultateve të tij nën titullin Hipoteza e Tokës. Kjo punë, në dy libra, përsëri vijon rrugën e njohur të zvogëluar aftësitë matematikore të nevojshme nga një lexues. Ptolemeu e bën këtë vend cleverly duke zëvendësuar teori gjeometrike abstrakte nga ato mekanike. Ptolemeu shkroi edhe një vepër të astrologjisë. Kjo mund të duket e çuditshme për lexuesin modern që dikush i cili ka shkruajtur libra të tillë të shkëlqyer shkencore duhet të shkruani në astrologji. Megjithatë, Ptolemeu e sheh atë dhe jo ndryshe, sepse ai pretendon se Almagest lejon një të gjeni pozicionet e trupave qiellore, ndërsa librin e tij "astrologjisë ai e sheh si një vepër që përshkruan shok efektet e trupave qiellor për jetën e njerëzve.

Në një libër me titull Analemma ka biseduar për metodat e gjetjen e kënde të duhet për të ndërtuar një orë diellore që përfshin projeksionin e pikave mbi sferën qiellore.Planisphaerium ai është i shqetësuar me projektim stereographic i sferës qiellore mbi një avion. Kjo është diskutuar në ku thuhet:

Në projektimit stereographic trajtohen nga Ptolemeu në "Planisphaerium" sferën e trupave qiellorë është plotësisht mbi planin e ekuator nga projektimit nga poli jugor. Ptolemeu nuk provohet pronë e rëndësishme që qarqet në sferën e qarqeve të bëhet në aeroplan.

Ptolemeu i madh i punës Gjeografi, në tetë libra, përpjekjet për hartën e botës së njohur duke i dhënë koordinata të vendeve të mëdha në drejtim të gjerësisë dhe gjatësi. Nuk është për t'u befasuar se harta e dhëna nga Ptolemeu ishin shumë të pasaktë, në shumë vende, sepse ai nuk mund të pritet që të bëjë më shumë se përdorni të dhënave në dispozicion dhe kjo është e cilësisë shumë të dobët për asgjë jashtë Perandorisë Romake, dhe madje edhe pjesë të romak Perandoria janë shtrembëruar rëndë. Në Ptolemeut është përshkruar si:

... një njeri duke punuar [në hartën e ndërtimit] pa ndihmën e një teori e zhvilluar, por brenda një traditë matematikore dhe udhëhiqen nga ndjenja e tij se çfarë është e përshtatshme për këtë problem.

Një tjetër punë në Optika është në pesë libra dhe në të Ptolemeut studimet ngjyra, reflektimi, thyerja, dhe pasqyra e formave të ndryshme. Komentet Toomer në:

Krijimin e teorisë nga eksperimenti, shpesh duke ndërtuar aparati të veçantë, është funksion më të dallueshëm të Optika "Ptolemeut". Nëse lëndën rrjedh kryesisht ose origjinal, "The Optika" është një shembull i rëndësishëm i zhvillimit të shkencës matematikore me lidhje për shkak të të dhënave fizike, dhe është i denjë i autorit të "Almagest".

Një përkthim anglisht, duke u përpjekur për të hequr pasaktësi futur në përkthimin arabisht të dobët i cili është burimi i vetëm i ynë Optika është dhënë në.

Parë për të bërë akuza kundër Ptolemeu ishte Tycho Brahe. Ai zbuloi se kishte një gabim sistematik të një diplomë në longitudes e yjeve ne katalogun e yll, dhe ai pohoi se, pavarësisht nga Ptolemeu duke thënë se ajo përfaqëson vrojtimet e tij, ai ishte thjesht një konvertim i një katalog për shkak të Hipparchus korrigjuar për precedent deri tani Ptolemeut. Nuk ka sigurisht problemet e caktuar duke krahasuar dy katalogë yje, një prej të cilave ne kemi një kopje të tjera, ndërsa është e humbur.

Pas komenteve nga Laplace dhe Lalande, tjetër për të sulmuar fuqishëm Ptolemeu ishte Delambre. Ai sugjeroi që ndoshta kanë ardhur nga gabimet Hipparchus dhe se Ptolemeut mund të kenë bërë asgjë më shumë serioze se sa që kanë dështuar për të korrigjuar Hipparchus 's dhëna për kohën në mes të equinoxes dhe solstices. Megjithatë Delambre pastaj shkon duke thënë (shih):

Një mund të shpjegojë çdo gjë në një më pak të favorshme, por të gjithë mënyrën e thjeshtë duke mohuar Ptolemeut respektimin e yjeve dhe equinoxes, dhe duke pretenduar se gjithçka ai asimiluar nga Hipparchus, duke përdorur vlerën minimale të fundit për mocionin precedent.

Megjithatë, Ptolemeu nuk ishte pa mbështetësit e tij me çdo mjet dhe analizë të mëtejshme çuar në një besim se akuzat e bëra kundër Ptolemeu nga Delambre ishin të rreme. Boll shkrim në 1894 thotë:

Për të gjitha paraqitjet, një do të duhet të kreditit Ptolemeu me jep një pamje më të pasur në thelb të qiell greke pas paraardhësve të tij të shquar.

Vogt tregoi qartë ne shkrimin e tij të rëndësishme që duke e konsideruar Hipparchus 's Commentary on Aratus dhe Eudoxus dhe duke bërë supozimin e arsyeshme që të dhënat e dhënë ka rënë dakord me Hipparchus' s katalog yll, pastaj katalog Ptolemeut ylli nuk mund të ketë qenë prodhuar nga pozicionet e yjeve dhënë nga Hipparchus, me përjashtim të një numri të vogël të yjeve ku Ptolemeu nuk duket të ketë marrë të dhëna nga Hipparchus. Vogt shkruan:

Kjo na lejon të marrin në konsideratë katalogut fikse ylli si e bërë e tij, ashtu si Ptolemeu vetë energjikisht shteteve.

Akuzat më të fundit të bëra kundër falsifikim Ptolemeut erdhi nga Newton in. Ai fillon këtë libër duke u shprehur qartë pikëpamjet e tij:

Kjo është historia e një krimi shkencore. ... Unë do të thotë një krim të kryer nga një shkencëtar kundër shkencëtarët dhe dijetarët tjerë, një tradhëti të etikës dhe integritetit të profesionit të tij që i ka privuar përgjithmonë njerëzve për informata themelore për një fushë të rëndësishme të astronomisë dhe historisë.

Kah fundi i Njutonit, duke pretenduar për të provuar çdo vëzhgim pretenduar nga Ptolemeu në Almagest ishte trilluar, shkruan:

[Ptolemeut] zhvilluar teori të caktuar astronomik dhe zbuloi se ata nuk ishin në përputhje me vrojtimin. Në vend që të braktisja teori, ai i fabrikuar me qëllim vëzhgimeve nga teoritë që ai mund të pretendojnë se vëzhgimet provuar vlefshmërinë e teorive të tij. Në çdo shkencore ose vendosjen e dijetari i njohur, kjo praktikë është quajtur mashtrim, dhe kjo është një krim kundër shkencës dhe të bursave.

Edhe pse provat e prodhuar nga Brahe, Delambre, Njutoni dhe të tjerë me siguri nuk tregojnë se gabimet Ptolemeu nuk janë të rastit, kjo kuotë të fundit nga është, unë [EFR] besojnë një krimi kundër Ptolemeu (për të përdorur fjalë të tij të Njutonit). Libri është shkruar në studim vlefshmërinë e këtyre akuzave dhe kjo është një punë që unë besoj fuqimisht jep interpretimin e saktë. Grasshoff shkruan:

... e ka të supozohet se një pjesë të konsiderueshme të katalogut ylli Ptolemeut është bazuar në vëzhgimet e Hipparchan ato që Hipparchus përdorur tashmë për hartimin e pjesës së dytë të tij "Titulli më Aratus". Edhe pse nuk mund të përjashtohet që koordinon që rezultojnë nga vëzhgimet e vërtetë Ptolemeut janë të përfshira në katalogun, ata nuk mund të njihet më shumë se gjysma katalogu.

... asimilimin e vrojtimeve Hipparchan nuk mund të diskutohet në aspektin e plagjiaturë. Ptolemeu, qëllimi i të cilit ishte për të zhvilluar një teori të plotë të dukurive qiellorë, nuk ka pasur qasje në metodat e vlerësimit të të dhënave duke përdorur mjete aritmetik, me të cilin astronomët moderne mund të rrjedhin nga një grup të ndryshme Rezultatet e matjes, një vlerë përfaqësues të nevojshme për të testuar një hipotezë. Për arsye metodologjike, atëherë, Ptolemeu ishte detyruar të zgjedhin nga një sërë matjeve korrespondon një vlerë më e mirë për atë që ai kishte për të konsideruar si të dhënat më të besueshme. Kur një përzgjedhje intuitiv mes të dhënave nuk ishte më e mundur ... Ptolemeu duhej të konsiderojnë këto vlera si 're' e cila mund të konfirmohet nga parashikimet teorike.

Si përfundimtar koment ne kuotë shënim që është pranuar nga shumë studiues që të ketë qenë shkruar nga vete Ptolemeu, dhe duket se në librin e 1 Almagest, pas lista e përmbajtjes (shih për shembull):

E pra unë nuk e di se unë jam njeri, një krijesë e një ditë.
Por në qoftë se mendjen time ndjek rrugët gjarpëruese e yjeve
Pastaj pjesa tjetër këmbët e mia nuk më në tokë, por në këmbë nga
Zeus marr veten time të mbushur ambrosia, gjellë hyjnore.


Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland