Matematikanë

Time linjë Photos Para Pulla Sketch Kërkimi

Leonhard Euler

Datlindja:

Vendin e lindjes:

Data e vdekjes:

Vendi i vdekjes:

15 April 1707

Basel, Switzerland

18 Sept 1783

St Petersburg, Russia

Prezantimi Wikipedia
ATTENTION - Automatic translation nga versioni anglisht

Leonhard Euler 's babai ishte Pali Euler. Pali Euler kishte studiuar teologji në Universitetin e Bazelit dhe kishte marrë pjesë në Jacob Bernoulli 's leksione atje. Në fakt Pali Ojler dhe Johann Bernoulli kishin jetuar në të dy Jacob Bernoulli 's shtëpi ndërsa studentë në Basel. Pali Euler u bë një ministër protestante dhe u martua me Margaret Brucker, vajzën e një tjetër ministër protestante. Djali i tyre Leonard Euler lindi në Basel, por familja u vendos në Riehen kur ai ishte një vit i vjetër dhe ajo ishte në Riehen, jo shumë larg nga Basel, që Leonard u sollën deri. Pali Euler ishte, siç e kemi përmendur, disa trajnime matematikore dhe ai ishte në gjendje të mësojnë matematikë elementare djalin e tij së bashku me subjektet e tjera.

Leonard u dërgua në shkollë në Basel dhe gjatë kësaj kohe ai ka jetuar me gjyshen e tij nga ana e nënës së tij. Kjo shkollë është një vend të varfër, nga të gjitha llogaritë, dhe mësova Ojler nuk matematikës në të gjithë nga shkolla. Megjithatë interesin e tij në matematikë kishte qenë sigurisht ndezi duke i mësuar të babait të tij, dhe ai lexoni tekstet e matematikës të tij dhe mori disa mësime private. Babai Euler's kërkuar djalin e tij për të ndjekur atë në kishë dhe e dërgoi atë në Universitetin e Bazelit për t'u përgatitur për ministrinë. Ai hyri në Universitetin në vitin 1720, në moshën 14 vjeç, së pari për të marrë një arsim të përgjithshëm para se të shkojnë për në studime më të avancuara. Johann Bernoulli shpejt zbuluar Ojler potencial të madh për matematikë në shkollim private që Ojler vetë engineered. Llogari të vet Euler e dhënë në shkrimet e tij të pabotuar autobiografike, shih, është si vijon:

... Unë së shpejti gjetur një mundësi për t'u futur në një profesor i njohur Johann Bernoulli. ... Vërtetë, ai ishte shumë i zënë dhe kështu që refuzoi kategorikisht për të jepni mësimet private, por ai më dha këshilla shumë më e vlefshme për të filluar leximin e librave më të vështira matematikore të mi dhe për të studiuar ato si me zell sa kam mundur, e nëse unë erdhi përmes disa pengesa ose vështirësi, unë u jepet leje për të vizituar atë lirisht çdo pasdite e diel dhe ai e shpjegoi me mirësi për mua çdo gjë unë nuk mund ta kuptoj ...

Në vitin 1723 Euler përfunduar Master në shkallën e tij në filozofi që në krahasim me kontrast dhe idetë filozofike e Descartes dhe Newton. Ai filloi studimet e tij për teologji në vjeshtën e 1723, duke pasuar dëshirat e babait të tij, por, edhe pse ai do të ishte një e krishterë i devotshëm të gjithë jetën e tij, ai nuk mund të gjeni entuziazmin për studimin e teologjisë, greqisht dhe hebraisht që ai gjendet në matematikë. Euler marrë pëlqimin e babait të tij për të ndryshuar për të matematika Johann Bernoulli, pasi kishte përdorur bindje e tij. Fakti që babai Ojler kishte qenë një mik i Johann Bernoulli 's në ditët e tyre universitare padyshim bërë detyrën e bindjes shumë më të lehtë.

Euler përfunduar studimet e tij në Universitetin e Bazelit në 1726. Ai kishte studiuar shumë vepra matematikore gjatë kohës së tij në Basel, dhe Calinger ka rikonstruktuar shumë e punëve që Ojler lexuar me këshillën e Johann Bernoulli. Ato përfshijnë vepra nga Varignon, Descartes, Newton, Galileo, van Schooten, Jacob Bernoulli, Hermann, Taylor dhe Wallis. Nga 1726 Euler ishte tashmë një letër të shtypura, në një artikull të shkurtër në kthesa njëkohës në një medium i rezistonin. Në 1727 ai botoi një artikull mbi trajektoret reciprok dhe dorëzuar një hyrje për Çmimin e Madh të 1727 Akademia e Parisit për marrëveshje më të mirë të masts në një anije.

Çmimi i 1727 shkoi në Bouguer, një ekspert në matematikë në lidhje me anijet, por ese Ojler fitoi vendin e dytë atë që ishte një arritje e mirë për të diplomuar të rinj. Megjithatë, Euler tani duhej të gjetur vetë një takim akademik dhe kur Nikolaus (II) Bernoulli vdiq në Shën Petersburg, në korrik 1726 duke krijuar një boshllëk atje, Euler ishte ofruar postin e cila do të përfshijë atë në mësimin e aplikimeve të matematikës dhe mekanikë të fiziologjia. Ai e pranoi këtë funksion në nëntor 1726, por deklaroi se ai nuk dëshiron të udhëtojë për në Rusi deri në pranverë të vitit vijues. Ai kishte dy arsye për të vonuar. Ai donte kohë për të studiuar temat në lidhje me postin e tij të re, por edhe ai kishte një shans për një post në Universitetin e Bazelit që profesori i fizikës nuk kishte vdekur. Euler shkroi një artikull në akustikë, i cili vazhdoi të bëhet klasik, në përpjekjen e tij për zgjedhjen në këtë post por ai nuk u zgjodh për të shkuar përpara në fazën ku shumë u tërhequr për të marrë vendimin përfundimtar mbi të cilët do të mbushin karrige. Pothuajse me siguri rininë e tij (ai ishte 19 në kohë) ishte kundër tij. Megjithatë Calinger sugjeron:

Ky vendim në fund të fundit kanë përfituar Euler, sepse ai e detyruar atë të lëvizë nga një republikë e vogël në një suazë më të përshtatshme për kërkimin e tij të shkëlqyera dhe të punojnë teknologjike.

Sapo ai e dinte se ai nuk do të emërohet për karrige e fizikes, Ojler la Basel më 5 prill 1727. Ai udhëtoi poshtë Rhein me anije, kaluan shtetet gjermane nga kamionçinë post, pastaj me anije nga Lübeck mbërritjes në Shën Petersburg më 17 maj 1727. Ai u bashkua me Shën Petersburg, Akademia e Shkencave dy vjet pasi ajo ishte themeluar nga Catherine unë, gruaja e Pjetrit te Madh. Përmes kërkesave të Daniel Bernoulli dhe Jakob Hermann, Euler ishte emëruar për ndarjen matematike-fizike të Akademisë në vend se në këtë post të fiziologjisë ai kishte qenë fillimisht ofruar. Në Shën Petersburg Ojler kishte shumë kolegë të cilët do të sigurojë një mjedis të jashtëzakonshme për të:

Askund tjetër ai mund të ketë qenë e rrethuar nga një grup të tillë të shkencëtarëve të shquar, duke përfshirë analist, gjeometër Jakob Hermann, një të afërm; Daniel Bernoulli, me të cilët Euler ishte i lidhur jo vetëm me miqësi personale, por edhe nga interesat e përbashkëta në fushën e matematikës aplikuar ; krishterë Goldbach studiues me dhunti të shumta, me të cilët Ojler diskutuan problemet e shumta e analizave dhe teoria e numrave; F Maier, të punojnë në trigonometri dhe astronom dhe gjeograf JN Delisle.

Euler shërbeu si toger mjekësore të marinës ruse në 1727-1730. Në Shën Petersburg ka jetuar me Daniel Bernoulli të cilët, tashmë të pakënaqur në Rusi, kishte kërkuar që Ojler sjellë atë çaj, kafe, raki dhe shijshme të tjera nga Zvicra. Euler u bë profesor i fizikës në Akademinë në 1730 dhe, pasi kjo e lejuar atë të bëhet një anëtare e plotë e Akademisë, ai ishte në gjendje të heqë dorë nga posti i tij flotës ruse.

Daniel Bernoulli mbajtur karrige të lartë në matematikë në Akademinë, por kur ai u largua nga Shën Petersburg për t'u kthyer në Bazel në 1733 ajo ishte Ojler i cili ishte emëruar në këtë karrige të lartë të matematikës. Përmirësim financiar i cili erdhi nga ky takim lejohet të martohet Ojler që ai bënte më 7 janar 1734, martoheshin Katharina Gsell, bija e një piktori nga gjimnazin e Shën Petersburg. Katharina, si Ojler, ishte nga një familje zvicerane. Ata kishin 13 fëmijë krejt edhe pse vetëm pesë shpëtuan fillimet e tyre. Euler pohoi se ai bëri disa nga zbulimet më të mëdha të tij matematikore, ndërsa mbajtjen e një fëmijë në krahë me fëmijët e tjerë luajnë raundin e këmbët e tij.

Ne do të shqyrtojë arritjet matematikore Ojler më vonë në këtë artikull, por në këtë fazë vlen të përmbledhur punën e Euler-së në këtë periudhë të karrierës së tij. Kjo është bërë si vijon:

... pas 1730 ai kishte kryer projekte të shtetit që kanë të bëjnë me kartografi, arsim shkencë, magnetizëm, motorë zjarri, makina, dhe ndërtimin e anijeve. ... Thelbi i programit të tij studimor u vendosur tani në vend të: Teoria e numrit; analizë infinitary përfshirë degët e tij në zhvillim, ekuacionet diferenciale dhe gur e variacioneve dhe mekanikë racional. Ai shikuara këto tri fusha si të ndërlidhur ngushtë. Studimet e teorisë numri ishin jetike për themelet e gur, dhe të veçanta të funksioneve dhe ekuacione diferenciale janë thelbësore për mekanikë racional, të cilat furnizohen probleme konkrete.

Publikimi i shumë artikujve dhe Mechanica librin e tij (1736-37), i cili gjerësisht paraqitet dinamika e Njutonit në formën e analizave matematikore për herë të parë, filloi Ojler në rrugën për në punë të mëdha matematikore.

Euler problemet shëndetësore filloi në 1735 kur ai kishte një ethe të rënda dhe pothuajse humbi jetën e tij. Megjithatë, ai e mbajti këtë lajm nga prindërit e tij dhe anëtarët e familjes Bernoulli kthehet në Basel, derisa ai kishte gjetur. Në shkrimet e tij autobiografike Ojler thotë se problemet e tij të parë filloi në 1738 me lodh për shkak të punës së tij dhe hartografike që nga 1740 ai kishte:

... ka humbur nje sy dhe [të tjera] aktualisht mund të jenë në rrezik të njëjtë.

Megjithatë, në Calinger argumenton se problemet e Euler e shikimi pothuajse me siguri e filluara më parë dhe se ethet e ashpër e 1735 ishte një shenjë e eyestrain. Ai gjithashtu argumenton se një portret i Euler nga 1753 sugjerojnë se deri në atë fazë sytë e sytë e tij të majtë ndërsa ishte ende e mirë se e syrit të tij të drejtë ishte e varfër, por jo tërësisht i verbër. Calinger sugjeron se sy majtë Ojler verbër u bë nga një katarakt dhe jo më vonë se eyestrain.

Nga 1740 Euler kishte një reputacion shumë të lartë, që fitoi Çmimin e Madh të Akademisë Parisit në 1738 dhe 1740. Në dy raste ai ndau çmimin e parë me të tjerët. Reputacioni Euler ishte për të sjellë një ofertë për të shkuar në Berlin, por në fillim ai preferoi të mbetet në Shën Petersburg. Sidoqoftë trazirat politike në Rusi bërë qëndrimin e të huajve posaqërisht e vështirë dhe kontribuoi në ndryshimin e Euler mendjen e tij. Pranuar një ofertë të përmirësuar Euler, me ftesë të Frederick i Madh, shkoi në Berlin, ku një Akademia e Shkencave ishte planifikuar për të zëvendësuar Shoqërisë së Shkencave. Ai u largua nga St Petersburg më 19 qershor 1741, duke arritur në Berlin më 25 korrik. Në një letër për një mik Ojler ka shkruajtur:

Unë mund të bëjë vetëm atë që unë uroj [në hulumtimet e mia] ... Mbreti thërret mua profesor i tij, dhe unë mendoj se jam njeri i lumtur në botë.

Edhe ndërsa në Berlin Ojler vazhduan të marrin pjesë të pagës së tij nga Rusia. Për këtë shpërblim ai blerë libra dhe instrumentet për Akademinë e Shën Peterburg, ai vazhdoi të shkruaj raporte shkencore për ta, dhe ai shkolluar rusët e rinj.

Maupertuis ishte kryetar i AkademisëBerlinit, kur ajo u themelua në vitin 1744 me Euler si drejtor i matematikës. Ai deputised për Maupertuis në mungesë të tij dhe dy miqtë u bë i madh. Euler ndërmori një sasi të pabesueshme të punës për të Akademisë:

... ai mbikqyri observatori dhe kopshte botanike, të zgjedhur personelin; mbikqyri çështje të ndryshme financiare dhe, në veçanti, i menaxhuar publikimin e kalendarë dhe harta të ndryshme gjeografike, shitja e së cilës ishte një burim i të ardhurave për të Akademisë. Mbreti i ngarkuar edhe me problemet praktike Euler, të tilla si projekt në 1749 për korrigjimin e nivelit të Kanalit të Finow ... Në atë kohë ai edhe e mbikqyrur punën për pompa dhe tubacionet e sistemin hidraulik në Sans Souci, rezidenca mbretërore të verës.

Kjo nuk ishte kufizuar të detyrave të tij me çdo mjet. Ai shërbeu në komitetin e Akademisë që kanë të bëjnë me bibliotekës dhe të publikimeve shkencore. Ai shërbeu si këshilltar i qeverisë për llotaritë e shtetit, të sigurimit, annuities dhe pensionet dhe artileri. Në krye të këtij prodhimi e tij shkencore gjatë kësaj periudhe ishte fenomenale.

Gjatë njëzet e pesë vjet të kaluara në Berlin, Euler shkroi rreth 380 artikuj. Ai shkroi libra mbi gur e variacioneve, në llogaritjen e orbitave planetare; më artileri dhe balistikë (zgjerimi i librit nga Robins); në analizë, në ndërtimin e anijeve dhe navigacion, mbi lëvizjen e hënës, leksione në njehsim diferencial dhe Letra popullore një botim shkencor të një Princesha e Gjermanisë (3 Vols., 1768-72).

Në 1759 Maupertuis vdiq dhe Euler mori udhëheqjen e Akademisë Berlinit, edhe pse jo titullin e Presidentit. Mbreti ishte i ngarkuar të përgjithshëm dhe Euler nuk ishte tani në marrëdhënie të mira me Frederick pavarësisht favor fillim të mirë. Euler, i cili kishte argumentuar me Alembert d'për çështjet shkencore, ishte i shqetësuar kur Frederick ofruar d'Alembert presidencën e Akademisë në 1763. Megjithatë d'Alembert refuzoi të shkojë në Berlin, por ndërhyrja e vazhdueshme Frederick me drejtimin e Akademisë bërë Ojler vendos se kishte ardhur koha të largohet.

Në vitin 1766 Euler u kthye në Shën Petersburg, dhe Frederiku u zemërua shumë në largimin e tij. Menjëherë pas kthimit të tij në Rusi, Ojler u bë pothuajse tërësisht i verbër pas një sëmundje. Në 1771 shtëpinë e tij u shkatërrua nga zjarri dhe ai ishte në gjendje për të shpëtuar vetëm veten dhe dorëshkrimet e tij matematikore. Një operacion katarakt menjëherë pas zjarrit, ende në 1771, restauruar të parit e tij për disa ditë, por Ojler duket se kanë dështuar që të marrin kujdesin e nevojshëm të veten dhe ai u bë tërësisht i verbër. Për shkak të kujtesës së tij të shquar ai ishte në gjendje për të vazhduar me punën e tij në optikë, algjebër, dhe hënor lëvizje. Amazingly pas kthimit të tij në Shën Petersburg (kur ishte 59 Euler) se vepra e tij pothuajse gjysma gjithsej pavarësisht verbëri totale.

Euler sigurisht nuk e ka arritur këtë nivel të shquar të prodhimit pa ndihmë. Ai u ndihmuar nga bijtë e tij, Johann Albrecht Ojler i cili ishte emëruar për kryetar i fizikës në Akademinë në Shën Petersburg në 1766 (duke u bërë sekretar i saj në 1769) dhe Christoph Ojler i cili kishte një karrierë ushtarake. Euler ishte i ndihmuar edhe nga dy anëtarë të tjerë të Akademisë, WL dhe Krafft AJ Lexell, dhe të rinjtë N bujë matematikan i cili ishte ftuar në Akademinë e nga Zvicra në 1772. Nervozoj, i cili ishte nip i Euler-in-law, u bë ndihmësi i tij në 1776. Yushkevich shkruan në:

.. ndihmuar shkencëtarët Ojler ishin sekretarët e jo thjeshtë, ai diskutoi skemë e përgjithshme e punon me ta, dhe ata zhvilluar idetë e tij, duke llogaritur tavolina, dhe hartuar ndonjëherë shembuj.

Për shembull kreditë Ojler Albrecht, Krafft dhe Lexell për ndihmën e tyre me punën e tij 775 faqe për mocionin e hënë, botuar në 1772. Nervozoj ndihmuar Euler përgatit mbi 250 artikuj për botim për një periudhë në rreth shtatë vjet, në të cilën ai veproi si asistent Euler, duke përfshirë një punë të rëndësishëm në sigurimin e cila u botua në vitin 1776.

Ai gjithashtu shkroi një lavdëri e Euler, të cilat ju mund të shihni në këtë link

Yushkevich përshkruan ditën e vdekjes së Euler-së në:

18 shtator 1783 Euler kaloi gjysmën e parë e ditës si zakonisht. Ai i dha një mësim të matematikës në një nga nipërit e tij, ka disa kalkulime me shkumës në dy komisionet në mocionin e balona; diskutuar pastaj me Lexell dhe bujë kohët e fundit zbuloi planetin Uran. Rreth pesë o'clock në pasdite ai pësoi një hemorragji të trurit dhe të folur vetëm "Unë jam duke vdekur" para se të humbi vetëdijen. Ai vdiq rreth eleven o'clock në mbrëmje.

Pas vdekjes së tij në Shën Petersburg, 1783 Akademia ka vazhduar të publikojë punën Ojler pabotuar për gati 50 vjet të tjerë.

Punës Euler në matematikë është aq e gjerë që një artikull të kësaj natyre, por nuk mund të japë një llogari shumë sipërfaqësore e saj. Ai ishte shkrimtari më pjellor e matematikës e të gjitha kohërave. Ai e bëri caqeve të mëdha përpara në studimin e gjeometrise analitike moderne dhe trigonometri ku ai ishte i pari që e konsiderojnë mëkat, kosinus etj si funksionon jo si chords si Ptolemeu e kishte bërë.

Ai ka dhënë një kontribut vendimtar dhe formuese në gjeometri, gur dhe teoria numër. Ai i integruar Leibniz 's njehsim diferencial dhe metodën e Njutonit e fluxions në analizat matematikore. Ai futi beta dhe gama e funksioneve, dhe integrimin e faktorëve për ekuacionet diferenciale. Ai studioi mekanikën e vazhduar, teoria e hënor me Clairaut, tre problem trupit, elasticitet, akustikë, teoria e valës së dritës, hidraulikë, dhe muzika. Ai hodhi themelet e mekanikës analitike, sidomos në Teoria e tij e mocionet e organeve të ngurta (1765).

Ne borxh për të Euler the simbol f (x) për një funksion (1734), e për bazë e shkrimet natyrore (1727), i për rrënja katrore e -1 (1777), për π pi, për total (1755), shënim për ndryshimet e fundme 2 y dhe y dhe shumë të tjerë.

Le të shqyrtojmë në hollësi pak më shumë disa të punës së Euler-së. Pari punën e tij në teori numër duket se ka qenë e stimuluar nga Goldbach por ndoshta fillimisht erdhi nga interesi që Bernoullis kishte në këtë temë. Goldbach kërkuar Euler, në 1729, në qoftë se ai e dinte Fermat 's supozimi se numrat 2 n + 1 ishin gjithmonë kryeministër nëse n është një fuqi prej 2. Euler verifikuar këtë për n = 1, 2, 4, 8 dhe 16, dhe, nga 1732 në të fundit, tregoi se rastet e ardhshme 2 32 + 1 = 4294967297 është i ndashëm nga 641 dhe kështu që nuk është kryeministër. Euler studioi edhe rezultatet e tjera të pavërtetuar të Fermat dhe duke bërë këtë paraqitur funksioni phi Ojler (n), numri i integers k me 1 n k dhe kn coprime. Ai provoi një tjetër e Fermat 's pohimet, dmth se nëse a dhe b janë coprime pastaj 2 + b 2 nuk ka pjesëtues formën e 4 n - 1, në 1749.

Ndoshta si rezultat që sollën Ojler the famë më së shumti në ditët e tij të ri ishte zgjidhja e tij të asaj që ishte bërë i njohur si problemi Basel. Kjo ishte për të gjetur një formë të mbyllura për shumën e seri pafund (2) = (1 / n 2), një problem i cili kishte mundur shumë të lartë duke përfshirë Matematikanë Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli dhe Daniel Bernoulli. Problemi ka qenë gjithashtu studioi pa sukses nga Leibniz, Stirling, de Moivre dhe të tjerët. Euler në 1735 treguan që (2) = π 2 / 6, por ai vazhdoi të provojë shumë më shumë, pra që (4) = π 4 / 90, (6) = π 6 / 945, (8) = π 8 / 9450 , (10) = π 10 / 93555 dhe (12) = 691π 12 / 638512875. Në 1737 ai provoi lidhjen e funksionit Zetës me seri të numrave të kryeministrit duke i dhënë lidhje famshëm

(S) = (1 / n s) = (1 - p - s) -1

Këtu shumë është mbi të gjithë numrat natyral n kur produkti është mbi të gjitha numrat e kryeministrit.

Nga 1739 Euler kishte gjetur Koeficientët racional C(n 2) = C π n 2 në aspektin e numrave Bernoulli.

Punë të tjera bërë nga Ojler në seri pafund përfshirë futjen e Ojler tij famshme të vazhdueshme, në 1735, të cilën ai tregoi të kufizuar të

1 / 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... + 1 / n - log n

si n tenton të pafundësi. Ai llogaritet të vazhdueshme për 16 numra pas presjes dhjetore. Euler gjithashtu studioi seri Furierit dhe në 1744 ai ishte i pari që shpreh një funksion algjebrik nga një seri të tillë, kur ai dha rezultat

π / 2 - x / 2 = sin x + (2 sin x) / 2 + (sin x 3) / 3 + ...

në një letër të Goldbach. Ashtu si shumica e punës Ojler atje ishte një vonesë të drejtë kohë para se rezultatet u botuan, ky rezultat nuk është botuar deri më 1755.

Euler shkroi James Stirling më 8 qershor 1736 duke i thënë atij në lidhje me rezultatet e tij në përmbledhje reciprocals të kompetencave, seri harmonik dhe rezultatet e vazhdueshme dhe të tjera Ojler mbi seri. Në veçanti ai ka shkruajtur:

Lidhur me përmbledhje e shumë ngadalë seri konvergjente, në vitin e kaluar kam ligjëruar në Akademinë tonë në një metodë të veçantë të cilat i kanë dhënë shuma e shumë e shumë seri mjaft saktësi dhe me shumë pak përpjekje.

Ai pastaj vazhdon për të përshkruar atë që tani quhet Ojler-formula Maclaurin mbledhje. Dy vjet më vonë Stirling u përgjigj duke u thënë Ojler se Maclaurin:

... do të jetë botuar një libër mbi fluxions. ... ai ka dy teorema për përmbledhje seri me anë të derivateve të termave, njëra prej të cilave është vetë-të njëjtin rezultat që ju ka dërguar.

Euler u përgjigj:

... Unë kam dëshirë shumë pak për diçka për të detracted nga fama e Maclaurin njohur Z. që ai ndoshta erdhi mbi teoremen e njëjtë për përmbledhje seri para meje, dhe si pasojë e meriton të quhet si zbuluesit e saj të parë. Sepse kam gjetur se rreth teorema e katër vjet më parë, kohë në të cilën unë e përshkroi gjithashtu dëshmi e saj dhe aplikimin në hollësi më të madhe për Akademinë tonë.

Disa prej rezultateve të teorisë së Euler numër kanë qenë përmendur më lart. Rezultatet e tjera të rëndësishme në teorinë numri Ojler përfshirë prova e tij e teorema e fundit Fermat për rastin e n = 3. Ndoshta më e rëndësishme se rezultati këtu ishte fakti se ai paraqiti një dëshmi që përfshin numrin e formën a + b √ -3 për integers a dhe b. Edhe pse ka pasur probleme me qasjen e tij këtë çoi përfundimisht në Kummer 's punë të madhe në Fermats Teorema e fundit dhe për futjen e konceptit të një unazë.

Një mund të pretendojnë se analizat matematikore ka filluar me Euler. Në 1748 në Introductio në infinitorum analysin Ojler bërë idetë e Johann Bernoulli shumë të saktë në përcaktimin e një funksion, dhe ai deklaroi se analizat matematikore ishte studimi i funksioneve. Kjo punë bazat gur mbi teorinë e funksioneve elementare dhe jo në kthesa gjeometrike, ashtu si kishte bërë më parë. Gjithashtu në këtë punë Ojler dha formulën

e ix = cos x + i sin x.

Introductio në infinitorum analysin Ojler trajtohen me logarithms e një ndryshore duke marrë vetëm vlerat pozitive edhe pse ai kishte zbuluar formulën

ln (-1) = π i

në 1727. Ai botoi teorine e tij të plotë të logarithms e numrave kompleks në 1751.

Funksionet Analitike e një variabël kompleks u hetuar nga Ojler në një numër të konteksteve të ndryshme, duke përfshirë edhe studimin e trajektoret Puna dhe kartografi. Ai zbuloi Cauchy - ekuacionet e Riemann në 1777, edhe pse d'Alembert ata kishin zbuluar në 1752 ndërsa hetonin hidrodinamikë.

Në vitin 1755 Euler botuar Institutiones calculi differentialis e cila fillon me një studim i gur e dallimeve fundme. Punë bën një hetim të plotë të asaj se si sillet nën Substitutions diferencimit.

integralis Institutiones calculi (1768-70) Ojler bërë një hetim të plotë të integrals që mund të shprehet në termat e funksioneve elementare. Ai gjithashtu studioi funksionet beta dhe gama, të cilat ai e kishte hedhur të parë në 1729. Lazhandrian quajtur integrals këto 'Eulerit e llojit të parë dhe të dytë ", respektivisht, ndërsa ata ishin të dhënë emrat funksion beta dhe gama funksion nga Binet dhe Gausit respektivisht. Si edhe hetimin integrals dyfishtë, Ojler konsiderohet thjeshtë ekuacione diferenciale dhe të pjesshme në këtë punë.

Gur i variacioneve është një fushë në të cilën Ojler bërë zbulimet themelore. Punën e tij Methodus inveniendi lineas curvas ... botuar në 1740 filloi studimi i duhur i gur e variacioneve. Në të vihet re se Carathéodory konsideruar këtë si:

... një nga veprat më të bukura matematike shkruar ndonjëherë.

Problemet ne fizike matematikës kishte çuar për të studiuar një Ojler gjerë të ekuacioneve diferenciale. Ai konsiderohet si ekuacionet lineare me koeficientët e vazhdueshme, për ekuacionet diferenciale të dytë me koeficientët ndryshueshme, zgjidhjet seri fuqia e ekuacioneve diferenciale, një metodë e variacionit të kosntanta, duke integruar faktorë, një metodë e përafrimit zgjidhje, dhe shumë të tjerë. Kur e konsideruar membrana vibruese, Euler ishte çuar në ekuacionin Bessel që ai zgjidhet duke futur funksione Bessel.

Euler ka dhënë një kontribut të konsiderueshëm në gjeometrinë diferenciale, në hetimin teorinë e sipërfaqeve dhe përkulje të sipërfaqeve. Rezultatet Shumë pabotuar nga Ojler në këtë zonë u rizbulua nga Gausit. Hetime të tjera gjeometrike e udhëhequr atë në idetë themelore në topologji si karakteristikë Ojler e një shumëfaqësh.

Në vitin 1736 Euler publikuar Mechanica e cila ka dhënë një përparim të madh në mekanikë. Si Yushkevich shkruan në:

Tipar dalluese e hetimeve Ojler në mekaniken në krahasim me ato të paraardhësve të tij është aplikimi sistematik dhe të suksesshëm të analizave. Më parë metodat e mekanikës ka qenë kryesisht sintetike dhe gjeometrike, ata kërkuan edhe një qëndrim individual ndaj problemeve të veçanta. Euler ishte i pari që të vlerësoj rëndësinë e prezantimit të metodave analitike uniforme në mekanikë, duke bërë të mundur problemet e saj të zgjidhet në një mënyrë të qartë dhe direkt.

Mechanica Euler konsiderohet si lëvizje e një pikë në masë të dy në një vakum dhe në një të mesme i rezistonin. Ai analizoi kërkesën e një masiv pikë nën një forcë qendrore dhe konsideruar edhe mocionin e një masë pikë në një sipërfaqe. Në këtë temë të fundit ai kishte për të zgjidhur probleme të ndryshme të gjeometrisë diferenciale dhe geodesics.

Mechanica u pasua nga një tjetër punë e rëndësishme në mekanikën racional, këtë herë punën dy Ojler e volumit në shkencën detare. Ajo është përshkruar si:

Mekanika Outstanding në të dy teorike dhe të aplikuar, ajo i drejtohet profesioni intensive Ojler me problemin e lëvizje të anijeve. Ajo aplikohet për të përcaktuar parimet variational dizajn optimale anije dhe themeloi parë parimet e hydrostatics ... Euler këtu edhe fillon zhvillimin e Kinematika dhe dinamika e organeve të ngurtë, duke futur në pjesën e ekuacionet diferenciale për mocionin e tyre.

Nga hydrostatics Sigurisht kishte studiuar që nga Arkimedi, por Ojler dha një version përfundimtar.

Në vitin 1765 Euler botuar një tjetër vepër madhore në mekanikë solidorum corporum Theoria motus, në të cilën ai e dekompozuar e një lëvizje të ngurta në një lëvizje drejtvizor dhe një lëvizje rrotulluese. Ai konsiderohet si kënde Ojler dhe studiuar problemet rrotulluese të cilat ishin të motivuara nga problemi i precedent të equinoxes.

Punës Euler për mekanikën fluide është gjithashtu mjaft i shquar. Ai botoi një numër i pjesëve kryesore të punës nëpërmjet vendosjes Vitet 1750 lart formulën kryesore për këtë temë, ekuacioni i vazhdimësisë, shpejtesia Laplace ekuacion potencial, dhe ekuacionet Ojler për mocionin e një lëngu inviscid pangjeshshëm. Në 1752 ai ka shkruajtur:

Megjithatë sublime janë hulumtimet mbi lëngjet që kemi borxh të Messrs Bernoulli, Clairaut dhe d'Alembert, ato rrjedhin në mënyrë të natyrshme nga dy formula ime e përgjithshme që nuk mund të mjaftueshme admiroj këtë marrëveshje e meditime e tyre të thellë me thjeshtësinë e parimet nga të cilat kam tërhequr dy ekuacionet e mia ...

Euler kontribuar në njohuri në shumë fusha të tjera, dhe në të gjitha prej tyre ka të punësuar njohuritë e tij matematikore dhe aftësi. Ai e bëri punën e rëndësishme në astronomi, duke përfshirë:

... përcaktimin e orbitave të planeteve kometat dhe nga disa vëzhgime, metodat e llogaritjes së paralaks e diellit, teoria e thyerjes, konsideratë të natyrës fizike të kometat, .... Veprat e tij më të shquar, për të cilën ai fitoi shumë çmime nga Shkenca Académie des Paris, janë të shqetësuar me mekanikën qiellore, e cila tërhoqi veçanërisht shkencëtarë në atë kohë.

Në fakt teoria Ojler hënor ishte përdorur nga Tobias Mayer në ndërtimin e tryezat e tij të hënën. Në 1765 Mayer 's ve pranuar 3.000 nga Britania për kontributin e tryezave të bërë për problemin e përcaktimit të gjatesine, ndërsa Ojler mori 300 nga qeveria britanike për kontributin e tij teorike për punën.

Euler botuar edhe në teorinë e muzikës, në veçanti ai botoi musicae theoriae Tentamen novae në 1739 në të cilat ai u përpoq të bëjë muzikë:

... pjesë e matematikës dhe të nxjerr një përfundim në një mënyrë të rregullt, nga parimet e saktë, çdo gjë që mund të bëjë një i përshtatshëm së bashku dhe duke sjellë bashkë të tone i kënaqshëm.

Megjithatë, sipas të punës ishte:

... për muzikantë shumë të përparuara në matematikë e saj dhe për Matematikanë shumë muzikore.

Hartografia është një tjetër fushë që u përfshinë në Ojler drejtorit kur ai u emërua i Shën Petersburg, Akademia 's seksionin gjeografia në 1735. Ai kishte detyra të veçanta të ndihmuar Delisle përgatit një hartë të tërë të perandorisë ruse. The Atlas ruse ishte rezultat i këtij bashkëpunimi dhe ajo u shfaq në 1745, e përbërë nga 20 harta. Euler, në Berlin nga koha e publikimit të tij, me krenari u shpreh se këtë punë e vënë rusët përpara edhe gjermanët në artin e kartografi.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland